Борис Модель: КОРОТКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАРИСОВКИ (Экскурсия в теорию бесконечно шаговых процессов последовательного выбора решений и не только)

“Одним словом” – уже два слова

КОРОТКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАРИСОВКИ

(Экскурсия в теорию бесконечно шаговых процессов последовательного выбора решений и не только)

Б. И. Модель

(ORCID https://orcid.org/0000-0001-8848-6778)

Торонто (Онтарио, Канада)

28 января 2021 г. – 18 апреля 2021 г.

(На английском:

https://docs.google.com/document/d/1QTe4-YywmKktlSykeGCm9_pYbMfGynzLrTpuKZuxF7s/edit?usp=drivesdk)

Введение

   Сколько себя помню, всякий раз, когда не знал, что делать то дальше, начинал писать.

   Только раньше писал о задачах, которые решал, и их решениях, если и когда таковые находил.

   А сейчас, спустя более 50 лет после начала самостоятельных исследований, осознав, что мой резерв уже, по-видимому, исчерпан, тем не менее опять начал писать, хотя ещё сам не знаю точно о чём.

Зарисовка 1

Что такое МАТЕМАТИКА?

   Не знаю, известен ли кому-нибудь исчерпывающий ответ на этот вопрос.

   Мне такой ответ не известен.

   Но люблю математику с раннего детства, с тех пор, когда слово “математика”, видимо, ещё и не знал.

   Вместо “люблю математику” говорил тогда, “мне нравится считать”.

   Помню, сказал так папе, когда, наверное, ещё и в школу не ходил.

   После начальной школы любить математику для меня уже означало решать интересные задачи.

   Сейчас, спустя много лет после окончания в Москве и математической школы,  московской средней школы 101, в которую привела меня мама, и мехмата МГУ, в который решил поступать уже сам, и даже уже после завершения чтения лекций в Израиле на кафедре математики Университета имени Бен-Гуриона в Негеве могу сказать, что моя любимая Математика для меня по-прежнему это, прежде всего, решение интересных задач.

   Только с течением времени эти задачи стал находить уже не в сборниках задач повышенной трудности или олимпиадных задач, и даже не в фундаментальных монографиях, а в ходе самостоятельных исследований.

Зарисовка 2

Насколько сильно математические задачи могут увлекать учащегося

   Любому учащемуся приходилось, также как и мне, сталкиваться со множеством интересных математических задач.

   И все, кто любят математику, хорошо знают, что такие задачи могут иногда настолько увлечь, что, практически, заслонят собой всё остальное.

   Помню, во время подготовки к выпускному экзамену по химии в период окончания средней школы не мог оторваться от решения задачи по комбинаторике, пока в конце концов не решил её.

   Но на подготовку к экзамену времени оставалось уже очень мало.

   Хорошо, что на экзамене получил вопрос, который всё же успел повторить дома.

   Помню, на письменном вступительном экзамене по математике на мехмат МГУ взялся за решение задачи повышенной трудности.

   Смог решить её достаточно быстро, и ещё осталось время для решения другой, стандартной, задачи, решать которую мне уже не хотелось.

   К счастью, всё же решил и её, поскольку решение трудной задачи, хотя оно и было правильным, мне почему-то не засчитали, а вот решение стандартной задачи, хотя в нём и была неточность, засчитали.

   Возможно, проверявший работу экзаменатор устал от проверки большого количества работ.

   Теперь это, конечно, уже не имеет никакого значения.

   Да и сами задачи сейчас уже забылись.

   Остались в памяти лишь связанные с ними ситуации.

   Забылось и много других встречавшиеся интересных задач.

   Но некоторые из них остаются в памяти до сих пор.

Зарисовка 3

Решение кубического уравнения как вызов

   В конце 9-го класса бросил себе вызов – решил найти решение кубического уравнения.

   Мне было известно, что это решение давно уже найдено.

   Но, помню, подумал тогда, что если кто-то это решение нашёл, мне тоже надо его найти.

   Действительно, недели через две непрерывного поиска мне удалось найти общее решение кубического уравнения.

Зарисовка 4

Как начинается самостоятельное исследование длиною в целую жизнь

   Учась на мехмате МГУ, уже на младших курсах увлёкся дифференциальными играми.

   Мне удалось решить одну нерешённую тогда до конца дифференциальную игру.

   Решение было совсем нетривиальным и неочевидным.

   Пытаясь подготовить на 5-ом курсе свою первую статью, в какой-то момент понял, что при всей нетривиальности и неочевидности моего решения то, что мною найдено, это лишь техническая часть решения.

   Мне стало понятно, что отсутствует строгая постановка и этой игры, и дифференциальных игр в целом, которая соответствовала бы моему интуитивному представлению о природе игры и не противоречащая дифференциальному описанию игры.

   Моя статья осталась на кафедре неоконченной.

   Спустя несколько лет узнал, что решение этой игры было опубликовано другим, и технически оно совпадало с решением, найденным мной.

   К счастью, меня никогда чрезмерно не занимали вопросы карьеры, вопросы, связанные с авторским приоритетом или даже плагиатом, 

   Время всё расставляет на свои места.

   Меня же тогда уже полностью увлекло решение других вопросов.

   Впоследствии, широкий круг этих вопросов стал называть:

ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНО ШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВЫБОРА РЕШЕНИЙ

   Так, с 5-го курса, более 50 лет тому назад, началось моё самостоятельное исследование длиною в целую жизнь.

Зарисовка 5

Чем математика отличается от повседневной жизни

   Без всякого сомнения, по крайней мере, на мой взгляд, математика является неотъемлемой частью нашей повседневной жизни.

   Но также без всякого сомнения, по крайней мере, на мой взгляд, наша повседневная жизнь гораздо разнообразнее, и не только потому, что в ней есть много других не менее достойных профессий и направлений, но ещё и потому, что строгие математические правила далеко не всегда выполняются в нашей повседневной жизни, да и не математические правила могут тоже нарушаться.

   Моим научным руководителем в университете был Генрих Константинович Пожарицкий, прекрасный математик и замечательный человек, слишком рано ушедший из жизни.

   Мне посчастливилось познакомиться с ним уже на втором курсе.

   По окончании учёбы в Университете, а Университет закончил с дипломом с отличием, должен был пойти работать в Институт, где работал мой университетский научный руководитель.

   Помню, был очень счастлив и горд пойти туда работать.

   Но руководство Института, в нарушение принятых тогда правил приёма на работу выпускников, отказалось принять меня на работу.

   Мне не хотелось выяснять, почему так поступили.

   Сейчас, спустя много лет, когда уже нет и той страны, в которой всё происходило, никакого значения это уже и не имеет.

   Могу лишь предполагать, что так руководство Института, возможно, демонстрировало отношение к моему научному руководителю и к моей национальной принадлежности.

   Полгода не мог найти работу, на работу меня просто никуда не принимали.

   Причину явно не называли, но сомнения не было, что причиной была моя национальная принадлежность.

   Ко всем тягостям безработицы добавлялось ещё и то, что не работать тогда было нарушением закона.

   Лишь спустя полгода мне, наконец, посчастливилось найти работу.

   Меня взяли в хороший Институт.

   Виктор Васильевич Щербаков захотел взять меня в Институт Машиноведения в Лабораторию, в которой он работал.

   Проработал в этом Институте много лет.

   Занимался различными плановыми исследованиями, а также самостоятельно продолжал исследование, начатое ещё в университете.

   Спустя два года пытался поступить в аспирантуру в Институт, где работал мой университетский научный руководитель.

   Необходимые для поступления экзамены сдал хорошо, набрал высокий балл, выше балла, нужного для поступления.

   Но мне было снова отказано.

   В тот раз причина была названа, практически, открытым текстом, не оставляя даже места для сомнения, что связана она была с моей национальной принадлежностью.

   Но тогда для меня это уже не было так тяжело.

   Уже и работал и продолжал самостоятельно заниматься своим исследованием.

   Результатом этого исследования стали моя диссертация, мои статьи и монографии, опубликованные на русском, английском и на иврите, игры перебора и пополнения, названные впоследствии в англоязычных публикациях других авторов моим именем (Boris Model Games).

Зарисовка 6

Встреча с парадоксами бесконечности

   Типичным представителем процессов, которыми занимался, являются шахматы с тем лишь отличием, что шахматы – конечная игра, а меня интересовали бесконечно шаговые процессы.

   Одно из основных структурных свойств, которое характеризует данные процессы, состоит в том, что в них будущие возможности развития процесса определяются лишь текущим настоящим процесса и не зависят непосредственно от прошлого, которое привело к данному настоящему.

   Так в шахматах будущие возможности развития игры определяются лишь текущей позицией на шахматной доске и не зависят непосредственно от предшествующего течения партии (за небольшим исключением, например, рокировки, для совершения которой нужно знать, были ли сделаны ранее ходы ладьёй и королём).

   Мне удалось распространить, некоторые структурные свойства конечно шаговых процессов на бесконечно шаговые.

   Но не все свойства конечных процессов можно распространить на бесконечные.

   В частности, в шахматах, если игрок, например, каждый раз делает ход, позволяющий выирать, то на каком-то ходу он поставит мат.

   В шахматах же без правил остановки (например, без таких правил как троекратное повторение позиции, правило 50 ходов) это не имеет места.

   Действительно, допустим, у белых остались король, в центре шахматной доски, и ферзь, а у чёрных – только король.

   Если белые будут ходить лишь ферзём, то хотя каждый такой ход и может позволить выиграть, но партия будет продолжаться бесконечно долго и белые так и не поставят мат чёрным.

   Таким образом, даже если каждый шаг беснечно шагового процесса и может привести к наилучшему результату, результат всего процесса в целом не обязательно будет наилучшим.

Зарисовка 7

Парадоксы бесконечности продолжают удивлять

   Играми перебора и пополнения стал заниматься давно, уже около 50 лет назад.

   Вначале они были для меня лишь одним из примеров бесконечно шаговых процессов, которыми занимался.

   Но затем они стали мне настолько интересны сложностью их исследования, скрывающейся за простотой их формулировки, и совершенно неожиданными для меня результатами, что мог продолжать заниматься только ими.

   Формулировка игр перебора и пополнения очень простая.

   Предположим, для наглядности, что в наборе перенумерованных лунок лежат совершенно одинаковые шары, в каждой лунке по одному шару.

   Первый игрок забирает, допустим, один шар из лунки, а второй игрок затем добавляет в свободную лунку один шар. Потом первый снова забирает один шар, а второй снова добавляет один шар, потом первый снова забирает один шар, а второй снова добавляет один шар, и так бесконечно много раз.

   Игра рассматривается с точки зрения первого игрока, цель которого состоит в том, чтобы шаров, которые будут постоянно находиться в лунках, было как можно меньше, а цель второго – прямо противоположная.

   Игра не представляется сложной, если множество лунок конечное или счётное.

   Если же множество лунок не является счётным, игра становится весьма сложной.

   В играх перебора и пополнения, также как и в шахматах, будущие возможности развития игры определяются лишь их текущим настоящим, и не зависят непосредственно от прошлого, которое привело к данному настоящему.

   Но при этом, в отличие от шахмат, в играх перебора и пополнения знание прошлого позволяет получить лучший результат всей игры в целом.

   То есть, хотя все будущие возможности развития игры и определяются лишь текущим настоящим, но информация о прошлом тем не менее оказывается в играх перебора и пополнения очень существенной.

   Ещё более поразительный, с моей точки зрения, результат получается, когда в играх перебора и пополнения играется сеанс одновременной игры, то есть когда один и тот же первый игрок одновременно играет несколько игр перебора и пополнения с разными вторыми игроками.

   В шахматах, когда играется сеанс одновременной игры, наилучший результат всего сеанса в целом для шахматиста, проводящего сеанс, является суммой наилучших результатов в каждой из партий сеанса.

   Кроме того, в шахматах в любой из партий сеанса использование при выборе хода шахматистом, проводящим сеанс, информации о сделанных ходах в других партиях не улучшает результат всего сеанса в целом.

   В отличие от шахмат, в играх перебора и пополнения оказывается, что для первого игрока, проводящего сеанс, наилучший результат сеанса одновременной игры лучше суммы наилучших результатов в каждой из игр сеанса.

   Кроме того, также в отличие от шахмат, в играх перебора и пополнения использование проводящим сеанс первым игроком при забирании шаров в играх сеанса информации о протекании других игр улучшает результат всего сеанса в целом.

Зарисовка 8

Открытый вопрос

   Среди множества вопросов, которые появляются, возникает, естественно, и следующий вопрос.

   Когда для данных процессов, в которых будущие возможности развития определяются лишь текущим настоящим и не зависят непосредственно от прошлого, которое привело к данному настоящему, информация о прошлом позволяет улучшить конечный результат процесса, а когда нет?

Зарисовка 9

Удивительное разбиение квадрата

   Рассмотрим квадрат.

   Пусть для простоты и наглядности это будет единичный квадрат K в плоскости координат XOZ: K={(x,y):0<x<1,0<y<1}.

   Очевидно, что этот квадрат может быть разбит, например, на такую совокупность непересекающиеся множеств, I(a), 0<a<1: I(a)={(x,a):0<x<=a} лежащих на отрезках, параллельных оси OX, и J(a), 0<a<1, J(a)={(a,y):0<y<a}, лежащих на отрезках, параллельных оси OY.

   Очевидно, также, что каждое из множеств I(a) и J(a), 0<a<1 – континуум.

   Мне же удалось на основе гипотезы континуума найти удивительное, на мой взгляд, разбиение квадрата также на совокупность непересекающиеся множеств, тоже лежащих на отрезках, параллельных осям OX и OY, но таких, что каждое из них будет счётным, а не континуумом.

Вместо заключения

   Представленные выше вопросы подробно рассмотрены в моих работах, в частности:

   1. Б. И. Модель. Элементы теории многошаговых процессов последовательного выбора решений, Москва: Наука, 1985.

   2. B. I. Model, Games of search and completion, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 80, No 2, 1996, pp. 1699 – 1744, Plenum Publishing Corporation, New York.

Оригинал здесь: https://borismodel.wordpress.com/