Отрывные листки календаря

Игры перебора и пополнения, исследованные Борисом Моделем.

Допустим, для наглядности, что каждая точка отрезка (0,1) является луночкой и перед началом игры в 4 луночках лежат 4 шарика. В игре участвуют два игрока, которые ходят поочереди. На первом ходе игрокIвынимает один шарик из заполненной луночки, на втором ходе игрокIIкладёт один шарик в освободившуюся луночку и так далее «до бесконечности». ИгрокIхочет, чтобы как можно меньше луночек были постоянно заполненными в процессе игры, а игрокIIхочет, чтобы таких постоянно заполненных луночек, из которых игрокIшарик не вынимает, было в процессе игры как можно больше.

Спрашивается, какое наименьшее количество таких постоянно заполненных луночек может гарантировать игрокI? (Не будет ни одной такой луночки? Будет лишь одна такая постоянно заполненная луночка? Или их будет 2? Или даже 3? Их не может быть 4,  поскольку из одной какой-то луночки шарик всегда берётся).

Что изменится, если перед началом игры, например, 100 шариков лежат в 100 луночках, а игроки берут и кладут, допустим, по 2 шарика?

 Ответ на эти и другие, кажущиеся простыми вопросы, оказывается далеко не простым и является существенной частью проводившегося на протяжении многих лет исследования.

Краткая справка

Модель Борис Израилович. Родился в 1949 г. в Загорске (Сергиев-Поссад). Жил и учился в Москве.  Окончил  с отличием мехмат  МГУ в 1971 году. После окончания университета полгода  был безработным  (не принимали на работу). В 1972 г. начал работать в Институте Машиноведения Академии Наук, руководимым академиком Анатолием Аркадьевичем Благонравовым,   позже  академиком Константином Васильевичем Фроловым, где работал до 1994  года. Был старшим научным сотрудником. В 1978 в г.  Свердловске (Екатеринбург) в Уральском Государственном Университете защитил диссертацию на   соискание ученой стерени  кандидата  физико-математических наук по обобщению  метода динамического программирования, разработанного американским математиком Ричардом Беллманом. Научный руководитель работы – Генрих Константинович Пожарицкий, талантливый математик, доктор физико-математических наук. В Советском Союзе, а затем  в России были написаны 3 книги, в  каждой из которых продолжается исследование, начатое в предыдущей книге. Одна из книг  переведена  в США. Наряду с чисто теоретическими исследованиями  занимался решением различных прикладных задач. С 1994 года живет и работает в Израиле. Преподает математику в Бейершевском Университете. С докладами о результатах своих научных  работ выступал на международной конференции в г. Москве (1999 год) и  в Филдсовском Институте г. Торонто (Канада)  (2009 год).

1965  год, октябрь, Москва.

– Боря, иди есть, – мамин голос с крохотной кухни  «хрущевки» хорошо слышен  во второй комнате. – Хорошо, сейчас, – отвечает он, но не идет, а продолжает решать задачу. – Ты, слышишь, сынок? – через некоторое время из соседней смежной комнаты включается папа. – Да, спасибо, – снова отвечает он. Дальше родители «по умолчанию» понимают, что пока задача не будет решена, он никуда не пойдет. Почему так происходит – трудно сказать. Что это:  целеустремленный характер, желание «победить» задачу, неумение отключиться от мысли о ней, или что-то другое – сейчас не важно. Главное, что кубическое уравнение, никак не поддается решению. Они не проходили, как его решать, хотя он учится в 9-ом классе школы с математическим уклоном. Таких школ не так много в Москве: «2-я», 18-й интернат, 444-я. В 101-ой на Красной Пресне есть  математический класс, где он учится. Он меряет шагами небольшую комнату, заклеенную светлыми обоями, из конца в конец, не замечая этого. Но нет, не получается. Только недели через две вздыхает с облегчением. Слава Богу, решил. Нашел общий алгоритм решения кубического уравнения. Конечно, эти формулы уже давно известны, но ему хотелось найти их самому.

1967 год, май, Москва.

Борис – студент мехмата МГУ. Они с другом детства – Юрой Лысенко гуляют по улице. Его друг детства – интересный человек. Во всем: начиная с характера, незаурядного интеллекта, и кончая именем. Это сейчас, когда говорят: «Он же Гога, он же Гоша, он же Георгий», – все  смеются. А тогда, когда Юра во дворе как-то сказал, что он по паспорту Георгий Павлович, все  ребята  были страшно  удивлены. До переезда семьи Бори на Ходынку,  они жили на «Хорошевке», где дружили вчетвером. Их маленький, уютный дворик был весь в зелени. Летом, когда деревья раскидывали свои зеленые, «разухабистые» ветви, словно крону над трехэтажными домами, последние совсем переставало быть видно. В те годы  люди жили еще в бараках, которых было немало и у них во дворе, прямо напротив их кирпичного дома.  Трехэтажные  каменные дома с потолками под 3 метра и полуподвальными помещениями, в которых люди вместо солнца видели лишь ноги прохожих, считались после войны «дворцами». Но самой большой «достопримечательностью» двора был Атарик. Позже,  в 90-е годы, его узнали как Отари Кантаришвили – руководителя полукриминальной структуры, объединившей под свои «знамена»  спортсменов. С Отари Кантаришвили в те годы  общались многие «сильные мира сего», включая государственных деятелей, а  во дворе он был просто Атарик. Как-то мальчишки рассказывали, что один раз пошли через дорогу (ходить туда  запрещали родители), в так называемый «городок», который строили пленные немцы. Там к ним пристала местная «шпана», и  разговор, как водится, начался с угроз. – А вы Травина знаете? Кем был этот Травин, никто понятия не имел, но «звучало» серьезно. Ребята из их двора только плечами пожали. Но когда они спросили в ответ: «А вы Атарика знаете?», – разговор сразу  закончился, «шпана», молча,  удалилась.  Атарика знали все. Переехав на Ходынку, Боря и Юра встречались редко, однако иногда вместе гуляли. Юрина мама – Агния Ивановна была потомственная дворянка, и друг, не смущаясь, рассказывал об этом. В советские годы говорить о таких вещах было не принято – люди стеснялись и  боялись  своего происхождения. Сама Агния Ивановна – человек удивительный. Имея высшее техническое образование, писала стихи. Порядочность и благородство настолько органично сочетались в её скромной натуре, что говорить о них не приходилось. Некоторые черты характера Юра унаследовал от мамы. В тот день,  к концу прогулки, друг вдруг спросил: – Хочешь  дам  тебе  задачу? – Давай,  –  не задумываясь, ответил Борис. – Представь себе, – начал Юра, – что есть ящик, а в нем бесконечно много шаров. За минуту до 12 часов первый человек кладет в него один шар, второй человек – один шар  вынимает. За полминуты до 12 первый снова кладет в ящик один шар,  второй – опять один шар вынимает. За  четверть минуты до 12 первый снова кладет в ящик  один шар, второй –  один шар вынимает и так далее. Сколько шаров будет в ящике в 12 часов? Боря  задумался и  произнес  вначале: “ноль”, потом – “бесконечность”. – Ноль, – сказал друг. Борису нечего было тогда ответить. Лишь некоторое время спустя, он понял, что на самом деле и «ноль», и «бесконечность» являются правильными решениями, все зависит от имеющейся информации. К слову сказать, сам Юра эту задачу, которую можно отнести к разряду общеизвестных парадоксов бесконечности, услышал от своего старшего брата Саши. Эта задача, перешедшая к Боре «по наследству», решение которой в усложненном виде он развил в своей диссертации, по прошествии ряда лет послужила толчком к развитию нового направления в теории игр.

1971 год, ноябрь, Москва.

Он лежит на диване в маленькой комнате и «опустошенно» смотрит в потолок. С отличием окончен «мехмат» МГУ и  … вот уже несколько месяцев его не берут на работу. О пресловутом «пятом» пункте (так в то время называли графу национальности в паспорте) в Советском Союзе  никто вслух не говорил, но все прекрасно знали, что это такое.  А в конце 60-х эта проблема обострилась вновь. Нелепая цепь «случайностей» превратилась в серьезное испытание жизни. Ну, кто был виноват в том, что на кафедре положили рекомендацию в аспирантуру  под кучу других бумаг, а  когда она нашлась, давать направление в аспирантуру было уже поздно. При распределении на работу (тогда после окончания ВУЗа на работу распределяли) было дано направление в хороший академический институт – Институт Проблем Механики, но  там, нарушая Закон, отказались взять на работу, несмотря на  направление МГУ, которое по законодательству прием гарантировало. Не посмотрели даже на то, что его  научный руководитель – Генрих Константинович Пожарицкий  являлся сотрудником этого Института. Дальше полгода  «мытарств» по разным организациям, куда также отказывались принимать по тем же «мотивам». Помог случай, который привел его к человеку,  оказавшемуся  выше  искусственно сложившихся в стране обстоятельств. Виктор Васильевич Щербаков, кандидат технических наук, будучи заместителем секретаря партийной организации по идеологической работе Института Машиноведения, помог ему (человеку «с улицы») устроиться на работу в этот академический  Институт. Он проработал в Институте Машиноведения до 1994 года, до того времени, когда зарплату стали платить с большим опозданием, а прожить на заработок старшего научного сотрудника, продолжая заниматься профессиональной деятельностью, не уходя в «коммерцию», стало невозможно. В «Имаше» их отдел одним из первых в стране стал заниматься «робототехникой». При этом приходилось разрешать и возникающие математические проблемы прикладного характера. Целый ряд публикаций и авторских свидетельств на изобретения стали результатом работы по плановым темам Института. Но в рамках своих собственных (неплановых) исследований, за что не платили денег, он остался верен теории игр, которой увлекся еще в МГУ и которой продолжал заниматься для себя чисто в научном плане.

1976 год, июнь, Москва.

С его научным руководителем Генрихом Константиновичем Пожарицким они идут по подземному переходу, и «Генрих» сильно раздосадован тем, что они опять вышли не туда, куда нужно. Спутник Бориса невысокого роста, с немного «приплюснутым» подбородком,  чем-то напоминает боксера. Генрих Константинович и в самом деле в молодости занимался боксом, что для математика было большой  редкостью. Говорят о научной работе. Борису поначалу пришлось доказывать своему научному руководителю, которого по-настоящему любил и уважал,  своё «право» заниматься тем, чем считал нужным. Несколько раз Пожарицкий  предлагал ему заняться другой задачей, однако никогда ни на чем не настаивал, оставляя свободу выбора за Борисом. Со студенческих лет Генрихом Константиновичем обращался к нему только по имени отчеству. Когда же работа  Бориса приобрела вид законченной диссертации, Пожарицкий не только его поддержал, но и договорился в Свердловске (ныне Екатеринбурге), где занимались близкой тематикой, о представлении диссертации к защите. Интересно, что когда Борис учился еще в Университете, произошла одна любопытная история. В своих курсовых работах на 3-м и 4-м курсах он нашел решение той части сформулированной и частично решенной американским математиком Руфусом Айзексом дифференциальной игры о ”долихобрахистохроне”, которая не была Айзексом решена. Генрих Константинович порекомендовал ему опубликовать найденное  решение. Когда Борис подготовил статью, «Генрих» сделал замечание, что нет строгой постановки задачи. Именно с этого небольшого замечания и началось то теоретическое исследование, которое продолжается вот уже 40 лет. Однако «старой задачей» (уравнением Айзекса) у Бориса пропал интерес заниматься  дальше, и статья так и  осталась не опубликованной. Через несколько лет найденное им решение игры о ”долихобрахистохроне” было опубликовано другим человеком. Борис рассказал об этом Пожарицкому, на что, тот  привел ему слова своего Учителя Николая Гурьевича Четаева,  члена–корреспондента Академии Наук: «Плагиаторы знают, что красть».

2010 год, июнь, Беер Шева (Израиль).

Сегодня – он лектор Беершевского Университета. Работает по контракту. Им опубликованы 3 книги (две – на русском, одна – на английском языке). Они посвящены исследованию предложенного Борисом нового класса игр. «Толчком» к этому исследованию послужила та самая задача, которая была услышана от друга еще в студенческие годы. Существенная научная поддержка в опубликовании этих книг была получена им от  Андрея Измайловича Субботина, впоследствии – академика Российской Академии Наук. Начатое Борисом исследование получило в настоящее время развитие в работах других математиков, в которых достигнуты новые результаты.

Лазарь Модель.